What is Rational Number (परिमेय संख्या) and Irrational Number (अपरिमेय संख्या)
rational numbers in hindi
What is Rational Number (परिमेय संख्या क्या है )
वे संख्याएँ जिन्हें p/q के रूप में लिखा जा सके ‘परिमेय संख्याएँ’ कहलाती हैं जहाँ p और q दोनों पूर्णांक हो लेकिन q कभी शून्य न हो।
एक पूर्णांक को दुसरे पूर्णांक (शून्य को छोड़कर) से भाग देने पर जो लघुत्तम प्राप्त होता है।
जैसे- 7, -2, 3/5, -2/4, -2/-6, 3/-7, 0 ……… आदि ‘परिमेय संख्याएँ’ हैं।
तुल्य परिमेय संख्या (equivalent rational number)
किसी भी परिमेय संख्या (उदाहरण के तौर पर 3/5 या -4/6) के अंश (numerator) व हर (denominator) में समान संख्या से गुणा (multiply) करने पर उस संख्या का मान नहीं बदलता बल्कि वह उस संख्या की तुल्य परिमेय संख्या (equivalent rational number) कहलाती है । किसी भी संख्या की अनगिनत (infinite) तुल्य संख्याऐं होती हैं ।
एक संख्या का दूसरी संख्या से गुणा
जब एक संख्या को दूसरी संख्या से गुणा करते हैं तो निम्न प्रकार के परिणाम प्राप्त होते हैं –
★ शेषफल शून्य हो जाता है या खुद की ही पुनरावृत्ति शुरू कर देता है
★ शेषों की पुनरावृत्ति श्रृंखला (repeatition seroes) में प्रविष्टियों (entries) की संख्या भाजक (divisor) से कम होती है
★ शेषों की पुनरावृत्ति (repeating) होती है तो भागफल (quotient) में अंकों का एक पुनरावृत्ति खण्ड प्राप्त होता है ।
(terminating decimal)
यदि शेष (remainder) शून्य हो जाता है, ऐसी संख्याओं के दशमलव प्रसार (decimal expansion) को सांत दशमलव (terminating decimal) कहते हैं ।
उदाहरण : 7/8 = 0.875 1/2 = 0.5 2/5 = 0.4
( इस प्रकार की संख्याऐं परिमेय होती हैं )
अनवसानी आवर्ती (non-terminating recurring)
कुछ चरणों के बाद कुछ संख्याओं की पुनरावृत्ति होने लगती है या भागफल में अंकों का एक पुनरावृत्ति खण्ड प्राप्त होता है इस प्रकार के दशमलव प्रसार को अनवसानी आवर्ती (non-terminating recurring) कहते हैं ।
उदाहरण : 1/7 = 0.142857142857142857……..
1/3 = 0.33333….
( इस प्रकार की संख्याऐं परिमेय होती हैं )
rational vs irrational numbers
यदि भागफल में अनियमित रूप से (randomly) विभिन्न प्रकार की संख्याऐं प्राप्त होती हैं तो इस प्रकार के दशमलव प्रसार की अनवसानी अनावर्ती (non-terminating non recurring) कहा जाता है ।
उदाहरण : 0.10110111011110….. , 1.414213562373095048801……… , 3.141592653589793238…….
( इस प्रकार की संख्याऐं अपरिमेय होती हैं )
कुछ याद रखने योग्य
परिमेय + अपरिमेय = अपरिमेय
● परिमेय – अपरिमेय = अपरिमेय
● परिमेय x अपरिमेय = अपरिमेय
● परिमेय ÷ अपरिमेय = अपरिमेय
● यदि दो अपरिमेय संख्याओं को परस्पर जोड़ें, घटायें, गुणा करें या भाग करें तो परिणाम कुछ भी हो सकता है परिमेय भी और अपरिमेय भी ।
कुछ याद रखने योग्य सर्वसमिकाएं (some important identities)
( जबकि a और b धनात्मक वास्तविक संख्याऐं हैं )
(i) √ab = √a√b
(ii) √(a/b) = √a/√b
(iii) (√a+√b)(√a-√b) = a-b
(iv) (a+√b)(a-√b) = a2-b
(v) (√a+√b)(√c+√d) = √ac+√ad+√bc+√bd
(vi) (√a+√b)2 = a+b+2√ab
हर का परिमेयकरण करना (rationalisation of denominator) :
उदाहरण के तौर पर 1/√2 के हर का परिमेयकरण करना है –
जैसा की आप जानते हैं कि अंश व हर में समान संख्या से गुणा कर देने पर संख्या का मान नहीं बदलता तो
1/√2 के अंश व हर में √2 से गुना करते हैं
1/√2 x √2/√2 = √2/2
अब संख्या का हर 2 है जोकि एक परिमेय संख्या है ।
अन्य उदाहरण :
1/3-√2 के हर का परिमेयकरण करो
1/3-√2 x 3+√2/3+√2 ( उसी संख्या से गुना करते हैं केवल चिन्ह बदलते हैं )
= 3+√2/9-2 = 3+√2/7
अब हर 7 है जोकि एक परिमेय संख्या है ।
What is Irrational Number (अपरिमेय संख्या क्या है)
वे संख्याएँ जिन्हें p/q के रूप में न लिखा जा सके अपरिमेय संख्याएँ कहलाती है। जहाँ p और q दोनों पूर्णांक हो लेकिन q कभी शून्य न हो।
जैसे- 
…… आदि अपरिमेय संख्याएँ हैं।
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